$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ を計算せよ。これは初項が1、公比が3の等比数列の初項から第n項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$ を計算せよ。これは初項が1、公比が3の等比数列の初項から第n項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を用います。初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は次のように表されます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この問題では、$a = 3^{1-1} = 3^0 = 1$、$r = 3$、項数は $n$ です。したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^n - 1}{2}$