$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$ を計算するために、和の性質を利用して、次のように分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3) = \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 3$

次に、定数倍の性質を利用して、$\sum_{k=1}^{n} 4k$ を $4 \sum_{k=1}^{n} k$ と変形します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3) = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n$ を用いて、式を書き換えます。

$4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n$

整理すると、

$4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 2n(n+1) + 3n = 2n^2 + 2n + 3n = 2n^2 + 5n$

3. 最終的な答え

$2n^2 + 5n$