$a$ を定数とする。$x$ の方程式 $\cos 2x - (2a+1)\cos x + a + 1 = 0$ を考える。 (1) $a=1$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。 (2) $a \ge 0$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値の個数を、$a$ の値によって分類して求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。$x$ の方程式 $\cos 2x - (2a+1)\cos x + a + 1 = 0$ を考える。

(1) $a=1$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。

(2) $a \ge 0$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、与えられた方程式を満たす $x$ の値の個数を、$a$ の値によって分類して求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、方程式は $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$ となる。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ であるから、

$2\cos^2 x - 1 - 3\cos x + 2 = 0$

$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

$(2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = 1$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき $x = \pm \frac{\pi}{3}$、$\cos x = 1$ のとき $x=0$。

したがって、求める $x$ の値は $x = -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$ である。

(2) $\cos 2x - (2a+1)\cos x + a + 1 = 0$

$2\cos^2 x - 1 - (2a+1)\cos x + a + 1 = 0$

$2\cos^2 x - (2a+1)\cos x + a = 0$

$(2\cos x - a)(\cos x - 1) = 0$

$\cos x = \frac{a}{2}$ または $\cos x = 1$

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos x = 1$ のとき $x=0$。

$\cos x = \frac{a}{2}$ について考える。

$a \ge 0$ より、$\frac{a}{2} \ge 0$ である。

$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x$ は $1$ から $0$ へと減少し、$0$ から $1$ へと増加する。

したがって、$\frac{a}{2}$ の値によって $x$ の個数が変化する。

(i) $0 \le \frac{a}{2} < 1$ のとき、つまり $0 \le a < 2$ のとき、$x$ は $\pm \arccos(\frac{a}{2})$ の2つの解を持つ。$x=0$ を加えて、$x$ の個数は3個。

(ii) $\frac{a}{2} = 1$ のとき、つまり $a = 2$ のとき、$x = 0$。$x=0$ は重複するので、$x$ の個数は1個。

(iii) $\frac{a}{2} > 1$ のとき、つまり $a > 2$ のとき、解なし。$x=0$ だけなので、$x$ の個数は1個。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$

(2)

$0 \le a < 2$ のとき、3個

$a \ge 2$ のとき、1個