円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 32^\circ$ であるとき、$\angle ADC$ を求める問題。また、問題文中に $\angle ABC = 77^\circ$ とあるので、これも正しいか確認する。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 32^\circ$ であるとき、$\angle ADC$ を求める問題。また、問題文中に $\angle ABC = 77^\circ$ とあるので、これも正しいか確認する。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle AEF$ に注目する。$\angle AEF$ は $\angle E$ のことなので $40^\circ$ である。同様に、$\angle AFE$ は $\angle F$ のことなので $32^\circ$ である。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle EAF = 180^\circ - \angle AEF - \angle AFE = 180^\circ - 40^\circ - 32^\circ = 108^\circ$

$\angle EAF$ は $\angle DAF$ のことである。

円に内接する四角形ABCDの対角の和は $180^\circ$ なので、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$ である。

よって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$ である。

$\angle ABC$ は $\angle ABE + \angle EBC$ であり、$\angle EBC = \angle E = 40^\circ$ である。

また、$\angle DAB = \angle DAF + \angle FAB$ であり、$\angle DAF = 108^\circ$ であり、$\angle FAB = 32^\circ$ である。

したがって、$\angle DAB = 108^\circ + 32^\circ = 140^\circ$ である。

円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ なので、$\angle DAB + \angle DCB = 180^\circ$ である。

したがって、$\angle DCB = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ である。

$\angle ACB$ は $\angle F = 32^\circ$ に等しいので、$\angle FCB = 40^\circ - 32^\circ = 8^\circ$ である。

問題文中に $\angle ABC = 77^\circ$ とある。四角形の内角の和が360度であることから、

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$ である。したがって、$\angle ADC = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$ である。

3. 最終的な答え

$\angle ADC = 103^\circ$

$\angle ABC = 77^\circ$