直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = $3\sqrt{3}$、AD = $3\sqrt{5}$、AE = $\sqrt{5}$ である。このとき、cos∠AFHの値を求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = $3\sqrt{3}$、AD = $3\sqrt{5}$、AE = $\sqrt{5}$ である。このとき、cos∠AFHの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、△AFHの各辺の長さを求める。

AF, FH, AHはそれぞれ直角三角形の斜辺であるから、三平方の定理を用いて求める。

AFについて：

△ABFは直角三角形である。

AF$^2$ = AB$^2$ + BF$^2$ = $(3\sqrt{3})^2$ + $(\sqrt{5})^2$ = 27 + 5 = 32

よって、AF = $\sqrt{32}$ = $4\sqrt{2}$

FHについて：

△FGHは直角三角形である。

FH$^2$ = FG$^2$ + GH$^2$ = $(3\sqrt{3})^2$ + $(3\sqrt{5})^2$ = 27 + 45 = 72

よって、FH = $\sqrt{72}$ = $6\sqrt{2}$

AHについて：

△ADHは直角三角形である。

AH$^2$ = AD$^2$ + DH$^2$ = $(3\sqrt{5})^2$ + $(\sqrt{5})^2$ = 45 + 5 = 50

よって、AH = $\sqrt{50}$ = $5\sqrt{2}$

次に、余弦定理を用いてcos∠AFHを求める。

cos∠AFH = $\frac{AF^2 + FH^2 - AH^2}{2 \cdot AF \cdot FH}$

= $\frac{32 + 72 - 50}{2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}}$

= $\frac{54}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 2}$

= $\frac{54}{96}$

= $\frac{9}{16}$

3. 最終的な答え

cos∠AFH = $\frac{9}{16}$