円の接線と弦が作る角に関する問題です。円の接線PQが点Cで円と接しており、CD=DAです。$\angle DCQ = 37^\circ$のとき、$\angle ACD$と$\angle ABC$の角度を求める問題です。

1. 問題の内容

円の接線と弦が作る角に関する問題です。円の接線PQが点Cで円と接しており、CD=DAです。$\angle DCQ = 37^\circ$のとき、$\angle ACD$と$\angle ABC$の角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 接線と弦の作る角の定理より、$\angle DCQ = \angle CAD$です。したがって、$\angle CAD = 37^\circ$です。

* CD = DAなので、$\triangle CAD$は二等辺三角形です。したがって、$\angle ACD = \angle ADC$です。

* 三角形の内角の和は180度なので、$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$です。$\angle CAD = 37^\circ$、$\angle ACD = \angle ADC$を代入すると、$37^\circ + 2\angle ACD = 180^\circ$となります。

$2\angle ACD = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

$\angle ACD = \frac{143^\circ}{2} = 71.5^\circ$

したがって$\angle ACD = 71.5^\circ$

* 円周角の定理より、$\angle ABC = \angle ADC$です。

よって$\angle ABC = \angle ACD = 71.5^\circ$です。

3. 最終的な答え

$\angle ACD = 71.5^\circ$

$\angle ABC = 71.5^\circ$