袋の中に赤玉4個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した玉が赤玉、白玉、青玉それぞれ1個ずつである確率。 (2) 取り出した玉の中に少なくとも1個は赤玉が含まれる確率。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉4個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 取り出した玉が赤玉、白玉、青玉それぞれ1個ずつである確率。

(2) 取り出した玉の中に少なくとも1個は赤玉が含まれる確率。

2. 解き方の手順

(1) 赤玉、白玉、青玉が1個ずつ取り出される確率を求める。

まず、3個の玉を取り出すすべての組み合わせの数を計算する。

これは、全部で9個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_3$で計算できる。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

次に、赤玉1個、白玉1個、青玉1個を取り出す組み合わせの数を計算する。

赤玉1個を選ぶ組み合わせは $_4C_1 = 4$ 通り。

白玉1個を選ぶ組み合わせは $_3C_1 = 3$ 通り。

青玉1個を選ぶ組み合わせは $_2C_1 = 2$ 通り。

したがって、赤玉1個、白玉1個、青玉1個を取り出す組み合わせの数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

求める確率は $\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$。

(2) 少なくとも1個は赤玉である確率を求める。

これは、1 - (赤玉が1つも含まれない確率) で計算できる。

赤玉が1つも含まれないのは、白玉と青玉から3個を選ぶ場合。

白玉3個と青玉2個の中から3個を選ぶ組み合わせの数を計算する。

これは、白玉3個と青玉2個、合計5個の中から3個を選ぶ組み合わせなので、$_5C_3$で計算できる。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

赤玉が1つも含まれない確率は $\frac{10}{84} = \frac{5}{42}$。

したがって、少なくとも1個は赤玉である確率は $1 - \frac{5}{42} = \frac{42-5}{42} = \frac{37}{42}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{37}{42}$