半径2の円$O_1$と半径$\sqrt{2}$の円$O_2$が2点A, Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle AO_2B = \frac{\pi}{2}$のとき、次の値を求めよ。 (1) $\angle AO_1B$ (2) 円$O_1$の弧ABの長さ$l$ (3) 2つの円の重なる部分の面積$S$

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

半径2の円$O_1$と半径$\sqrt{2}$の円$O_2$が2点A, Bで交わっている。2つの円の中心は互いに他の円の外部にある。$\angle AO_2B = \frac{\pi}{2}$のとき、次の値を求めよ。

(1) $\angle AO_1B$

(2) 円$O_1$の弧ABの長さ$l$

(3) 2つの円の重なる部分の面積$S$

2. 解き方の手順

(1) $\angle AO_1B$を求める。

三角形$AO_2B$において、$AO_2 = BO_2 = \sqrt{2}$であり、$\angle AO_2B = \frac{\pi}{2}$なので、三平方の定理より、

$AB^2 = AO_2^2 + BO_2^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$

したがって、$AB = 2$。

三角形$AO_1B$において、$AO_1 = BO_1 = 2$であり、$AB = 2$なので、三角形$AO_1B$は正三角形である。

よって、$\angle AO_1B = \frac{\pi}{3}$。

(2) 円$O_1$の弧ABの長さ$l$を求める。

弧の長さは、半径$r$と中心角$\theta$を用いて、$l = r\theta$で表される。

円$O_1$の半径は2であり、中心角は$\frac{\pi}{3}$なので、

$l = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

(3) 2つの円の重なる部分の面積$S$を求める。

重なる部分の面積は、扇形$AO_1B$の面積から三角形$AO_1B$の面積を引いたものと、扇形$AO_2B$の面積から三角形$AO_2B$の面積を引いたものの和である。

扇形$AO_1B$の面積は、$\frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}(2)^2\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

三角形$AO_1B$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

よって、扇形$AO_1B$から三角形$AO_1B$を引いた面積は、$\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$

扇形$AO_2B$の面積は、$\frac{1}{2}(\sqrt{2})^2\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

三角形$AO_2B$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 1$

よって、扇形$AO_2B$から三角形$AO_2B$を引いた面積は、$\frac{\pi}{2} - 1$

したがって、重なる部分の面積$S$は、

$S = (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) + (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{4\pi + 3\pi}{6} - \sqrt{3} - 1 = \frac{7\pi}{6} - \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\angle AO_1B = \frac{\pi}{3}$

(2) $l = \frac{2\pi}{3}$

(3) $S = \frac{7\pi}{6} - \sqrt{3} - 1$