$1 \le x \le 5$ のとき、関数 $y = (x^2 - 6x)^2 + 12(x^2 - 6x) + 30$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 5$ のとき、関数 $y = (x^2 - 6x)^2 + 12(x^2 - 6x) + 30$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2 - 6x$ とおく。すると、$y = t^2 + 12t + 30$ となる。

次に、$t$ の範囲を求める。$t = x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ である。

$1 \le x \le 5$ における $t$ の最小値を求める。

$x=3$のとき、$t=(3-3)^2-9=-9$

$1 \le x \le 5$ における $t$ の最大値を求める。

$x=1$のとき、$t=(1-3)^2-9=4-9=-5$

$x=5$のとき、$t=(5-3)^2-9=4-9=-5$

したがって、$-9 \le t \le -5$ となる。

次に、$y = t^2 + 12t + 30 = (t+6)^2 - 6$ の $-9 \le t \le -5$ における最大値と最小値を求める。

$t = -6$ のとき、$y = -6$ は範囲に含まれない。

$y = (t+6)^2 - 6$ のグラフは下に凸の放物線なので、$t = -5$ のとき最大値をとり、$t = -9$ のとき最小値をとる。

$t = -5$ のとき、$y = (-5+6)^2 - 6 = 1 - 6 = -5$

$t = -9$ のとき、$y = (-9+6)^2 - 6 = 9 - 6 = 3$

したがって、最大値は $3$, 最小値は $-5$ である。

3. 最終的な答え

最大値：3

最小値：-5