$\sin^2 \theta - a \sin \theta + a = 0$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲に異なる4つの実数解を持つときの、$a$ の値の範囲を求める。
2025/7/7
1. 問題の内容
が の範囲に異なる4つの実数解を持つときの、 の値の範囲を求める。
2. 解き方の手順
まず、 と置換すると、与えられた方程式は についての二次方程式
となる。 において、 が異なる4つの解を持つためには、以下の条件を満たす必要がある。
(1) 二次方程式 は異なる2つの実数解 を持つ。
(2) それらの解は かつ を満たす。
(3) かつ のどちらかが0を含んでいても良い。
二次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 である。
したがって、 または
次に、 とおくと、 かつ を満たすための条件は、以下の3つである。
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
これは常に成り立つ。
(c)
これらの条件をすべて満たす の範囲は、 である。
が で、 のとき、 は2つの解を持つ。
が のとき、 は1つの解を持つ。
が のとき、 は2つの解 を持つ。
したがって、二次方程式の解が であれば、それは に関して2つの解を与える。そして、もし異なる2つの解があり、それらが両方とも の範囲にあれば、 は4つの解を持つ。しかし、 の一方の解が 0 である場合も考えられる。
判別式より、 または
より、 である必要がある。
解の公式
であり、 である。
のとき、 となり、 である。
とすると、
が かつ であれば条件を満たす。 ではない。
解が となるためには、軸 が であること。
つまり、
また、 である。
である。
なので、 または である。
ではない。
である。
最終的に得られる条件は、 になる。