底面の半径が 5 cm、母線の長さが $2\sqrt{13}$ cm の円錐について、以下の問いに答える問題です。 (1) 円錐の高さを求める。 (2) 円錐の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が 5 cm、母線の長さが $2\sqrt{13}$ cm の円錐について、以下の問いに答える問題です。

(1) 円錐の高さを求める。

(2) 円錐の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の高さは、底面の半径、母線の長さ、高さで直角三角形ができることを利用して、三平方の定理を用いて求めます。

高さ $h$、半径 $r$、母線 $l$ とすると、$h^2 + r^2 = l^2$ の関係が成り立ちます。

この問題では、$r = 5$ cm、$l = 2\sqrt{13}$ cm なので、

$h^2 + 5^2 = (2\sqrt{13})^2$

$h^2 + 25 = 4 \times 13$

$h^2 + 25 = 52$

$h^2 = 52 - 25$

$h^2 = 27$

$h = \sqrt{27}$

$h = 3\sqrt{3}$ cm

(2) 円錐の体積は、底面積 $\times$ 高さ $\times$ (1/3) で求められます。

底面積は $\pi r^2$ であり、$r = 5$ cm なので、底面積は $\pi \times 5^2 = 25\pi$ cm$^2$ となります。

高さは(1)で求めた $3\sqrt{3}$ cm なので、体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 3\sqrt{3}$

$V = 25\sqrt{3}\pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{3}$ cm

(2) $25\sqrt{3}\pi$ cm$^3$