$x = 1 - \sqrt{5}$ のとき、$P(x) = x^4 - 5x^2 - 15x + 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 1 - \sqrt{5}$ のとき、$P(x) = x^4 - 5x^2 - 15x + 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 - \sqrt{5}$ を変形して、$x - 1 = -\sqrt{5}$を得ます。

両辺を2乗すると、$(x - 1)^2 = (-\sqrt{5})^2$となります。

これを展開すると、$x^2 - 2x + 1 = 5$となり、$x^2 - 2x - 4 = 0$となります。

次に、与えられた多項式$P(x) = x^4 - 5x^2 - 15x + 1$を$x^2 - 2x - 4$で割ります。

$x^4 - 5x^2 - 15x + 1 = (x^2 - 2x - 4)(x^2 + 2x + 3) + x + 13$

したがって、$P(x) = (x^2 - 2x - 4)(x^2 + 2x + 3) + x + 13$ です。

$x^2 - 2x - 4 = 0$ なので、 $P(x) = 0 \cdot (x^2 + 2x + 3) + x + 13 = x + 13$となります。

最後に、$x = 1 - \sqrt{5}$を代入すると、$P(x) = 1 - \sqrt{5} + 13 = 14 - \sqrt{5}$となります。

3. 最終的な答え

$14 - \sqrt{5}$