問題6は、2次方程式 $x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ が異なる2つの解を持ち、その解がともに1より大きいとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6は、2次方程式 $x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ が異なる2つの解を持ち、その解がともに1より大きいとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式が異なる2つの解を持つ条件を考えます。

判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である必要があります。

$D = (-2(m-1))^2 - 4(m+5) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m - 20 = 4m^2 - 8m + 4 - 4m - 20 = 4m^2 - 12m - 16$

したがって、$4m^2 - 12m - 16 > 0$ となり、$m^2 - 3m - 4 > 0$。

これを因数分解すると、$(m-4)(m+1) > 0$ となります。

よって、$m < -1$ または $m > 4$ が得られます。

次に、2つの解がともに1より大きいという条件を考えます。

$f(x) = x^2 - 2(m-1)x + m + 5$ とおきます。

このとき、$f(x) = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ がともに1より大きい条件は、

(1) $f(1) > 0$

(2) 軸 $> 1$

(3) 判別式 $D > 0$

が成り立つことです。

(1) $f(1) = 1 - 2(m-1) + m + 5 = 1 - 2m + 2 + m + 5 = -m + 8 > 0$ より、$m < 8$。

(2) 軸は $x = m-1$ なので、$m-1 > 1$ より、$m > 2$。

(3) はすでに $m < -1$ または $m > 4$ で求められています。

これらの条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 4$、かつ、$m < 8$、かつ、$m > 2$。

したがって、$4 < m < 8$ が得られます。

3. 最終的な答え

$4 < m < 8$