$a, b$ は実数の定数とする。3次方程式 $x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x + b = 0$ の実数解が $x=1$ だけであるとき、$a$ の値の範囲と $b$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題8を解きます。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数の定数とする。3次方程式 $x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x + b = 0$ の実数解が $x=1$ だけであるとき、$a$ の値の範囲と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ が解なので、方程式に代入すると

$1^3 + (a-1)1^2 + (1-a)1 + b = 0$

$1 + a - 1 + 1 - a + b = 0$

$1 + b = 0$

よって、$b = -1$

次に、方程式は $x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x - 1 = 0$ となり、$x=1$ を解に持つので、$x-1$ を因数に持つ。

組み立て除法を行うと、

```

1 | 1 a-1 1-a -1

| 1 a 1

---------------------

1 a 1 0

```

よって、$x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x - 1 = (x-1)(x^2 + ax + 1) = 0$

実数解が $x=1$ だけであるためには、$x^2 + ax + 1 = 0$ が実数解を持たないか、または $x=1$ を重解に持つ必要がある。

(i) $x^2 + ax + 1 = 0$ が実数解を持たないとき、判別式 $D = a^2 - 4 < 0$ より、

$-2 < a < 2$

(ii) $x^2 + ax + 1 = 0$ が $x=1$ を重解に持つとき、

$1^2 + a(1) + 1 = 0$ より $a = -2$

このとき、$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ となり、$x=1$ を重解に持つ。

したがって、$x^2 + ax + 1 = 0$ の解が $x=1$ のみであるとき、$a = -2$ である。これは $-2 \le a < 2$ の条件を満たさない。

したがって、求める $a$ の範囲は $-2 < a < 2$ であり、$b = -1$ である。

3. 最終的な答え

$a$ の範囲: $-2 < a < 2$

$b$ の値: $b = -1$