与えられた2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ とし、$a > b$ とする。 (1) $a$ の値を求め、$\frac{1}{a}$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ と $b^2 - \frac{1}{b^2}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) $a^4 - 1$ の値を求め、さらに $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ とし、$a > b$ とする。

(1) $a$ の値を求め、$\frac{1}{a}$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ と $b^2 - \frac{1}{b^2}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) $a^4 - 1$ の値を求め、さらに $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解を求める。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a > b$ より $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、 $b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{-4} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ を求める。

$a^2 = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{a^2} = (\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$a^2 - \frac{1}{a^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$b^2 - \frac{1}{b^2}$ を求める。

$b^2 = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{b^2} = (\frac{-1-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$b^2 - \frac{1}{b^2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} - 3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$

(3) $a^4 - 1$ を求める。

$a^4 = (a^2)^2 = (\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$a^4 - 1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{7 + 3\sqrt{5} - 2}{2} = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$

$a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ を求める。

$a^4 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$b^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{b^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - 3(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 9 - 3\sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、 $\frac{1}{a} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{5}$、 $b^2 - \frac{1}{b^2} = -\sqrt{5}$

(3) $a^4 - 1 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$、 $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$