x, y が実数であるとき、以下の (1) から (4) の命題について、それぞれ「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれに当てはまるかを答える。 (1) 「$x > 0$ かつ $y > 0$」は「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」であるための 9 (2) 「$x > 1$ かつ $y > 1$」は「$x + y > 2$ または $x + y < -2$」であるための 10 (3) 「$|x + y| = 0$」は「$|x| + |y| = 0$」であるための 11 (4) 「$y \ge -x$」は「$y \ge x^2$」であるための 12 選択肢： ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが、十分条件ではない ③ 十分条件であるが、必要条件ではない ④ 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

x, y が実数であるとき、以下の (1) から (4) の命題について、それぞれ「必要条件」「十分条件」「必要十分条件」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれに当てはまるかを答える。

(1) 「$x > 0$ かつ $y > 0$」は「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」であるための 9

(2) 「$x > 1$ かつ $y > 1$」は「$x + y > 2$ または $x + y < -2$」であるための 10

(3) 「$|x + y| = 0$」は「$|x| + |y| = 0$」であるための 11

(4) 「$y \ge -x$」は「$y \ge x^2$」であるための 12

選択肢：

① 必要十分条件である

② 必要条件であるが、十分条件ではない

③ 十分条件であるが、必要条件ではない

④ 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) 「$x > 0$ かつ $y > 0$」$\Rightarrow$「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」

$x > 0$ かつ $y > 0$ ならば、$x + y > 0$ かつ $xy > 0$ は明らかに成り立つ。

「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」$\Rightarrow$「$x > 0$ かつ $y > 0$」

$x + y > 0$ かつ $xy > 0$ ならば、$x$ と $y$ は同符号であり、$x + y > 0$ なので、$x > 0$ かつ $y > 0$ である。

したがって、「$x > 0$ かつ $y > 0$」は「$x + y > 0$ かつ $xy > 0$」であるための必要十分条件である。

(2) 「$x > 1$ かつ $y > 1$」$\Rightarrow$「$x + y > 2$ または $x + y < -2$」

$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x + y > 2$ は成り立つ。

「$x + y > 2$ または $x + y < -2$」$\Rightarrow$「$x > 1$ かつ $y > 1$」

例えば、$x = 3$, $y = 0$ のとき、$x + y = 3 > 2$ だが、$y > 1$ ではない。したがって、十分条件ではない。

$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x + y > 2$。よって、$x + y > 2$ または $x + y < -2$ は成り立つので、必要条件である。

したがって、「$x > 1$ かつ $y > 1$」は「$x + y > 2$ または $x + y < -2$」であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(3) 「$|x + y| = 0$」$\Rightarrow$「$|x| + |y| = 0$」

$|x + y| = 0$ ならば $x + y = 0$、すなわち $x = -y$。このとき、$|x| + |y| = |-y| + |y| = 2|y|$。

したがって、$|x + y| = 0$ は $|x| + |y| = 0$ であるための十分条件ではない。

「$|x| + |y| = 0$」$\Rightarrow$「$|x + y| = 0$」

$|x| + |y| = 0$ ならば、$|x| = 0$ かつ $|y| = 0$ であるから、$x = 0$ かつ $y = 0$。

したがって、$x + y = 0$、すなわち $|x + y| = 0$。

よって、「$|x + y| = 0$」は「$|x| + |y| = 0$」であるための必要条件である。

「$|x + y| = 0$」は「$|x| + |y| = 0$」であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(4)「$y \ge -x$」$\Rightarrow$「$y \ge x^2$」

$y \ge -x$ ならば $y \ge x^2$ は必ずしも成り立たない。例：$x=2, y=0$ のとき、$y \ge -x$ すなわち $0 \ge -2$ は成り立つが、$y \ge x^2$ すなわち $0 \ge 4$ は成り立たない。

したがって、$y \ge -x$ は $y \ge x^2$ であるための十分条件ではない。

「$y \ge x^2$」$\Rightarrow$「$y \ge -x$」

$y \ge x^2$ ならば $y \ge -x$ は必ずしも成り立たない。例：$x=-2, y=0$ のとき、$y \ge x^2$ すなわち $0 \ge 4$ は成り立たないので、そもそもこの矢印は考えなくてよい。

一方、$y \ge x^2$ ならば、$y \ge 0$。また、$x$ の値によっては $-x > x^2$ となる場合がある。$x=-1$ のとき $-x = 1 > x^2 = 1$ は成り立たない。しかし、$x = -0.5$ ならば $-x = 0.5$ かつ $x^2 = 0.25$ なので、$y \ge x^2$ ならば $y \ge -x$ とは限らない。例えば、$x=2, y=4$ のとき、$y \ge x^2$ は成り立つが、$y \ge -x$ は $4 \ge -2$ でありこれも成り立つ。

よって、$y \ge x^2$ は $y \ge -x$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

9: ①

10: ②

11: ②

12: ④