2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $a, b$ とする。ただし $a > b$ とする。以下の3つの問題を解く。 (1) $a$ の値を求め、さらに $\frac{1}{a}$ の分母を有理化する。 (2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ と $\frac{1}{b^2}$ の値をそれぞれ求める。 (3) $a^4 - 1$ の値を求め、さらに $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の2つの解を $a, b$ とする。ただし $a > b$ とする。以下の3つの問題を解く。

(1) $a$ の値を求め、さらに $\frac{1}{a}$ の分母を有理化する。

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ と $\frac{1}{b^2}$ の値をそれぞれ求める。

(3) $a^4 - 1$ の値を求め、さらに $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - x - 1 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a > b$ より $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{a} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1 - \sqrt{5})}{-4} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$ を求める。

$a^2 = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{a^2} = (\frac{1}{a})^2 = (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$a^2 - \frac{1}{a^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ より、$\frac{1}{b} = \frac{2}{1 - \sqrt{5}} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{(1 - \sqrt{5})(1 + \sqrt{5})} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{1 - 5} = \frac{2(1 + \sqrt{5})}{-4} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{b^2} = (\frac{1}{b})^2 = (\frac{-1 - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

(3) $a^4 - 1$ を求める。

$a^4 = (a^2)^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

$a^4 - 1 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{7 + 3\sqrt{5} - 2}{2} = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$

$a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2$ を求める。

$b^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - 3(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}) + 2 = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 9 - 3\sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, $\frac{1}{a} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) $a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{5}$, $\frac{1}{b^2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

(3) $a^4 - 1 = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}$, $a^4 + b^2 - \frac{3}{b^2} + 2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$