与えられた行列の積の式 $\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ を満たす正方行列 $A$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列の積の式

$\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

を満たす正方行列 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を

$BA C = D$

と置く。ここで

$B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

である。

$B$ と $C$ の逆行列が存在すれば、$A$ は

$A = B^{-1} D C^{-1}$

で求められる。

まず、$B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

$B = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(B) = 4 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 16 - 15 = 1$ であるから、$B^{-1}$ は

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

となる。

次に、$C$ の逆行列 $C^{-1}$ を求める。

$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(C) = 0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1 = -1$ であるから、$C^{-1}$ は

$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

となる。

したがって、

$A = B^{-1} D C^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 2 + (-5) \cdot 1 & 4 \cdot (-4) + (-5) \cdot 0 \\ -3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & -3 \cdot (-4) + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 5 & -16 \\ -6 + 4 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + (-16) \cdot 1 & 3 \cdot 1 + (-16) \cdot 0 \\ -2 \cdot 2 + 12 \cdot 1 & -2 \cdot 1 + 12 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 16 & 3 \\ -4 + 12 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$