実数 $x$ に対して、命題「$x > 2 \implies x > 4$」の真偽を調べ、偽であれば反例を示す。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、命題「$x > 2 \implies x > 4$」の真偽を調べ、偽であれば反例を示す。

2. 解き方の手順

与えられた命題は「$x > 2$ ならば $x > 4$」です。この命題の真偽を、集合の関係を用いて考えます。

$P = \{x \mid x > 2 \}$

$Q = \{x \mid x > 4 \}$

とします。このとき、命題「$x > 2 \implies x > 4$」が真であるためには、$P \subset Q$ が成立する必要があります。しかし、これは成立しません。なぜなら、$x = 3$ のとき、$x > 2$ は成立しますが、$x > 4$ は成立しないからです。したがって、与えられた命題は偽です。

反例としては、$x=3$ が挙げられます。$x=3$ は $x>2$ を満たしますが、$x>4$ を満たしません。

3. 最終的な答え

偽。反例：$x=3$