7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 整数は何個あるか。 (2) 奇数とは何個あるか。 (3) 5の倍数とは何個あるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 整数は何個あるか。

(2) 奇数とは何個あるか。

(3) 5の倍数とは何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 整数について

まず、5桁の整数を作るので、一番左の位は0であってはいけない。

したがって、一番左の位に来るのは1から6の6通りの数字である。

残りの4つの位には、残りの6つの数字から4つを選んで並べることになるので、${}_6 P _4$ 通りである。

よって、求める個数は $6 \times {}_6 P _4 = 6 \times (6 \times 5 \times 4 \times 3) = 6 \times 360 = 2160$ 個となる。

(2) 奇数について

5桁の整数が奇数であるためには、一番右の位が奇数である必要がある。

奇数は1, 3, 5の3つである。

(i) 一番左の位が0でない場合

一番右の位に来るのは1, 3, 5の3通りである。

一番左の位に来るのは、0と一番右の位に使った数字以外の5通りである。

残りの3つの位には、残りの5つの数字から3つを選んで並べることになるので、${}_5 P _3$ 通りである。

よって、この場合の個数は $3 \times 5 \times {}_5 P _3 = 3 \times 5 \times (5 \times 4 \times 3) = 15 \times 60 = 900$ 個となる。

(ii) 一番左の位が0の場合

この場合はあり得ない。

したがって、求める個数は900個となる。

(3) 5の倍数について

5桁の整数が5の倍数であるためには、一番右の位が0か5である必要がある。

(i) 一番右の位が0の場合

一番右の位は0で固定される。

残りの4つの位には、残りの6つの数字から4つを選んで並べることになるので、${}_6 P _4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りである。

(ii) 一番右の位が5の場合

一番右の位は5で固定される。

一番左の位に来るのは、0以外の5通りである。

残りの3つの位には、残りの5つの数字から3つを選んで並べることになるので、${}_5 P _3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りである。

よって、この場合の個数は $5 \times {}_5 P _3 = 5 \times 60 = 300$ 個となる。

したがって、求める個数は $360 + 300 = 660$ 個となる。

3. 最終的な答え

(1) 2160個

(2) 900個

(3) 660個