問題は、不定積分 $\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}}$ を求める問題です。ここで、$x=a\tan\theta$ という変数変換を利用して解いています。

1. 問題の内容

問題は、不定積分 $\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}}$ を求める問題です。ここで、$x=a\tan\theta$ という変数変換を利用して解いています。

2. 解き方の手順

まず、$x = a \tan \theta$ とおくと、$dx = a \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$ となります。

これを積分に代入すると、

$\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \int \frac{a \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}}{(a^2 + a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}}$

$= \int \frac{a \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}}{(a^2(1 + \tan^2 \theta))^{3/2}}$

ここで、$1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ であるから、

$= \int \frac{a \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}}{(a^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta})^{3/2}}$

$= \int \frac{a \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}}{( \frac{a^3}{\cos^3 \theta})}$

$= \int \frac{a}{1} \cdot \frac{\cos^3 \theta}{a^3} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$

$= \int \frac{\cos \theta}{a^2} d\theta$

$= \frac{1}{a^2} \int \cos \theta d\theta$

$= \frac{1}{a^2} \sin \theta + C$ （$C$は積分定数）

次に、$\sin \theta$ を $x$ と $a$ で表す必要があります。$x = a \tan \theta$ より、$\tan \theta = \frac{x}{a}$ である。また、$\sin\theta = \cos\theta \tan\theta$ という関係がある。$\sin\theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$も成り立つ。

$\sin \theta = \frac{\frac{x}{a}}{\sqrt{1 + (\frac{x}{a})^2}} = \frac{\frac{x}{a}}{\sqrt{\frac{a^2 + x^2}{a^2}}} = \frac{\frac{x}{a}}{\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}} = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$

従って、$\frac{1}{a^2} \sin \theta = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}} + C$

または、$\frac{1}{a^2} \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} + C$