不定積分 $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^8 + a^8}} dx$ を計算する問題です。ただし、$a$ は定数です。$\sqrt{x^8 + a^8} = t$ という変数変換を利用して解きます。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^8 + a^8}} dx$ を計算する問題です。ただし、$a$ は定数です。$\sqrt{x^8 + a^8} = t$ という変数変換を利用して解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^8 + a^8} = t$ と置きます。このとき、

$x^8 + a^8 = t^2$ となります。両辺を $x$ で微分すると、

$8x^7 dx = 2t dt$ より、$4x^7 dx = t dt$ が得られます。

被積分関数を $x^3$ と $dx$ の積に分解します。ここで、$x^8 = t^2 - a^8$ より $x^4 = \sqrt{t^2 - a^8}$ となります。

元の積分は次のように変形できます。

$\int \frac{x^3}{\sqrt{x^8 + a^8}} dx = \int \frac{x^{-4} x^7}{\sqrt{x^8 + a^8}} dx = \int \frac{x^{-4}}{4 \sqrt{x^8 + a^8}} 4x^7 dx = \int \frac{x^{-4}}{4t} t dt = \int \frac{1}{4 x^4} dt$

$x^4 = \sqrt{t^2 - a^8}$なので

$\int \frac{1}{4 \sqrt{t^2 - a^8}} dt = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^8}} dt$

$\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^8}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^8}| + C$

したがって、

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^8}} dt = \frac{1}{4} \log |t + \sqrt{t^2 - a^8}| + C$

ここで、$t = \sqrt{x^8 + a^8}$ であり、$t^2 - a^8 = x^8$ なので、

$\frac{1}{4} \log | \sqrt{x^8 + a^8} + \sqrt{x^8}| + C = \frac{1}{4} \log | \sqrt{x^8 + a^8} + x^4| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \log |\sqrt{x^8 + a^8} + x^4| + C$ （$C$は積分定数）