Cのパートでは、与えられた関数 $f(x)$ の指定された範囲における増減と凹凸を調べ、選択肢から適切なものを選びます。Dのパートでは、与えられた数式を計算し、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

Cのパートでは、与えられた関数 $f(x)$ の指定された範囲における増減と凹凸を調べ、選択肢から適切なものを選びます。Dのパートでは、与えられた数式を計算し、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

Dのパートから解答します。

a. $2 \log_{10} \sqrt{100} = 2 \log_{10} 10 = 2 \cdot 1 = 2$

したがって、12に入るのは2です。

b. $(\frac{4}{5} \times 16)^{\frac{3}{2}} = (\frac{64}{5})^{\frac{3}{2}} = (\frac{8}{\sqrt{5}})^3 = \frac{512}{5\sqrt{5}} = \frac{512\sqrt{5}}{25}$

与えられた選択肢から、近いものを探す必要があります。選択肢が与えられていないので、このままにします。しかし、もし選択肢があれば、計算結果と照らし合わせて最も近いものを選びます。仮に「$\frac{512\sqrt{5}}{25}$」が選択肢に入っていたとしたら、13に入るのは $\frac{512\sqrt{5}}{25}$ です。

c. $27^{-x} = \frac{1}{3}$ より、 $(3^3)^{-x} = 3^{-1}$ 、すなわち $3^{-3x} = 3^{-1}$。したがって、 $-3x = -1$ 、$x = \frac{1}{3}$

したがって、14に入るのは$\frac{1}{3}$です。

d. $\log_8 x = \frac{1}{3}$ より、 $x = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1 = 2$。したがって、解は2の1乗なので、15に入るのは1です。

e. $\log_3 24 - \log_3 6 + \log_3 2^{-2} = \log_3 \frac{24}{6} + \log_3 \frac{1}{4} = \log_3 4 + \log_3 \frac{1}{4} = \log_3 (4 \cdot \frac{1}{4}) = \log_3 1 = 0$

したがって、16に入るのは0です。

f. $\frac{\log_3 4}{\log_2 18} = \frac{\log_3 2^2}{\log_2 (2 \cdot 3^2)} = \frac{2 \log_3 2}{\log_2 2 + 2 \log_2 3} = \frac{2 \log_3 2}{1 + 2 \log_2 3}$

底の変換公式を用いると、$\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$

したがって、$\frac{2 \log_3 2}{1 + 2 \log_2 3} = \frac{\frac{2}{\log_2 3}}{1 + 2 \log_2 3} = \frac{2}{\log_2 3 (1 + 2 \log_2 3)}$

このままでは簡単にならないので、問題文をもう一度確認します。

$\frac{\log_3 4}{?} = \log_2 ?$ を解けばよい。$x = \log_2 3$とおくと、

$\log_3 4 = (\log_2 3) y$となる $y$ が求める答え。$\log_3 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \frac{2}{\log_2 3} = xy$となるため、$y = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{(\log_2 3)^2}$。

よって$\frac{\log_3 4}{?} = \log_2 ?$ となる 17 と 18 は、

$\frac{\log_3 4}{log_2 3} = \frac{\frac{2}{log_2 3}}{log_2 3} = \frac{2}{(log_2 3)^2} \neq log_2 3$

$\log_3 4 = \log_2 3$ではないので、間違いである。

問題の意味合いから、正しくは

$\frac{\log_3 4}{x} = \frac{\log_2 4}{\log_2 3} / x$

なので、17 は 2、18は 3。

g. $\frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

したがって、19は2、20は$e^{2x}$。

Cのパートを解答します。

a. $f(x) = \frac{x}{1+x}$ , $0 < x < 1$

$f'(x) = \frac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2} > 0$ なので増加関数

$f''(x) = -2(1+x)^{-3} = \frac{-2}{(1+x)^3} < 0$ なので上に凸（凹関数）

したがって、7に入るのは 1。

b. $f(x) = \frac{x-2}{1-x}$ , $x < 1$

$f'(x) = \frac{(1-x) - (x-2)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + x - 2}{(1-x)^2} = \frac{-1}{(1-x)^2} < 0$ なので減少関数

$f''(x) = -(-2)(1-x)^{-3} (-1) = \frac{-2}{(1-x)^3}$

$x < 1$ のとき $f''(x) < 0$ なので上に凸（凹関数）

したがって、8に入るのは 3。

c. $f(x) = x^2 - x + 1$, $1 < x < 2$

$f'(x) = 2x - 1 > 0$ なので増加関数

$f''(x) = 2 > 0$ なので下に凸（凸関数）

したがって、9に入るのは 0。

d. $f(x) = e^{-(3x+2)}$, $0 < x$

$f'(x) = -3 e^{-(3x+2)} < 0$ なので減少関数

$f''(x) = 9 e^{-(3x+2)} > 0$ なので下に凸（凸関数）

したがって、10に入るのは 2。

e. $f(x) = (\sqrt{x^2 - 1})^{-1} = (x^2 - 1)^{-1/2}$, $1 < x$

$f'(x) = -\frac{1}{2} (x^2 - 1)^{-3/2} (2x) = -x (x^2 - 1)^{-3/2} < 0$ なので減少関数

$f''(x) = -(x^2 - 1)^{-3/2} - x (-\frac{3}{2}) (x^2 - 1)^{-5/2} (2x) = -(x^2 - 1)^{-3/2} + 3x^2 (x^2 - 1)^{-5/2} = \frac{-(x^2 - 1) + 3x^2}{(x^2 - 1)^{5/2}} = \frac{2x^2 + 1}{(x^2 - 1)^{5/2}} > 0$ なので下に凸（凸関数）

したがって、11に入るのは 2。

3. 最終的な答え

7: 1

8: 3

9: 0

10: 2

11: 2

12: 2

13: $\frac{512\sqrt{5}}{25}$ (選択肢による)

14: $\frac{1}{3}$

15: 1

16: 0

17: 2

18: 3

19: 2

20: $e^{2x}$