曲線 $C: y = x^3 - 4x + 1$ と、点 $P(3, 0)$ を通り、$C$ の接線である直線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$l$ の傾きは負であるとします。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 4x + 1$ と、点 $P(3, 0)$ を通り、$C$ の接線である直線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。ただし、$l$ の傾きは負であるとします。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 - 4t + 1)$ における接線を考えます。

$y' = 3x^2 - 4$ より、接線の傾きは $3t^2 - 4$ となります。

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - (t^3 - 4t + 1) = (3t^2 - 4)(x - t)$

となります。

この接線が点 $P(3, 0)$ を通るので、代入すると、

$0 - (t^3 - 4t + 1) = (3t^2 - 4)(3 - t)$

$-t^3 + 4t - 1 = 9t^2 - 3t^3 - 12 + 4t$

$2t^3 - 9t^2 + 11 = 0$

$(t+1)(2t^2 - 11t + 11)=0$

$t=-1, \frac{11\pm\sqrt{33}}{4}$

$t=-1$, $3t^2-4 = 3(-1)^2 - 4 = -1 < 0$

$t=\frac{11+\sqrt{33}}{4}$, $3t^2-4>0$

$t=\frac{11-\sqrt{33}}{4}$, $3t^2-4=3(\frac{11-\sqrt{33}}{4})^2-4 = 3\cdot\frac{121 - 22\sqrt{33} + 33}{16} - 4 = \frac{3\cdot(154-22\sqrt{33})}{16}-4 = \frac{462 - 66\sqrt{33} - 64}{16} = \frac{398-66\sqrt{33}}{16} = \frac{199-33\sqrt{33}}{8} \approx (199-189)/8 = 10/8>0$

$t = -1$ のとき、接線の傾きは $3(-1)^2 - 4 = -1$ であり、接線は $y - (-1+4+1) = -1(x+1)$ より $y - 4 = -x - 1$ なので、$y = -x + 3$ となります。

曲線 $y = x^3 - 4x + 1$ と直線 $y = -x + 3$ の交点を求めます。

$x^3 - 4x + 1 = -x + 3$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$

$(x+1)(x+1)(x-2) = 0$

$(x+1)^2(x-2) = 0$

$x = -1, 2$

求める面積は、

$S = \int_{-1}^2 |(x^3 - 4x + 1) - (-x + 3)| dx = \int_{-1}^2 |x^3 - 3x - 2| dx$

$= \int_{-1}^2 |(x+1)^2(x-2)| dx = \int_{-1}^2 -(x+1)^2(x-2) dx = -\int_{-1}^2 (x^2+2x+1)(x-2)dx$

$= -\int_{-1}^2 (x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2) dx = -\int_{-1}^2 (x^3 - 3x - 2) dx$

$= -\left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-1}^2 = -\left[ (\frac{16}{4} - \frac{12}{2} - 4) - (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) \right]$

$= -\left[ (4 - 6 - 4) - (\frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4}) \right] = -\left[ -6 - \frac{3}{4} \right] = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24+3}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$