与えられた関数 $f(x)$ に対して、その導関数 $f'(x)$ を求め、$x=1$ における値を計算する問題が2つあります。 最初の問題は、$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ のとき、$f'(1)$ を求める問題です。 2番目の問題は、$f(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ のとき、$f'(1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、その導関数 $f'(x)$ を求め、$x=1$ における値を計算する問題が2つあります。

最初の問題は、$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$ のとき、$f'(1)$ を求める問題です。

2番目の問題は、$f(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ のとき、$f'(1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

最初の問題：$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$

* 商の微分公式を適用します。商の微分公式は、$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ のとき、$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ となります。

この問題では、$u(x) = 1-x$、$v(x) = 1+x$ です。

* $u'(x)$ と $v'(x)$ を求めます。

$u'(x) = -1$

$v'(x) = 1$

* $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-1-x - 1+x}{(1+x)^2}$

$f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2}$

* $f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = \frac{-2}{(1+1)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

2番目の問題：$f(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$

* 各項を微分します。

$f'(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{2x}{2} - 0$

$f'(x) = \frac{3x^2}{2} - x$

* $f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1$

$f'(1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

最初の問題：$f'(1) = -\frac{1}{2}$

2番目の問題：$f'(1) = \frac{1}{2}$