問題は以下の3つのパートに分かれています。 * パートC：与えられた関数 $f(x)$ の、定義された $x$ の範囲における形状と増減に関する問題です。具体的には、$f(x) = \ln x$ ($x > 1$) および $f(x) = \frac{1}{x-2}$ ($x > 2$) の形状と増減を、選択肢の中から選びます。 * パートD：2次関数 $f(x) = x^2 + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ ($p > 0$) があります。関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ を定義し、指定された条件を満たす値を求めます。 * $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最小にする $x$ の値を求めます。 * $h(x)$ を最小にする $x$ の値を $t$ で表すとき、$p$ と $t$ の関係を求めます。

はい、承知いたしました。問題の解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は以下の3つのパートに分かれています。

* パートC：与えられた関数 $f(x)$ の、定義された $x$ の範囲における形状と増減に関する問題です。具体的には、$f(x) = \ln x$ ($x > 1$) および $f(x) = \frac{1}{x-2}$ ($x > 2$) の形状と増減を、選択肢の中から選びます。

* パートD：2次関数 $f(x) = x^2 + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ ($p > 0$) があります。関数 $h(x) = g(x) - f(x)$ を定義し、指定された条件を満たす値を求めます。

* $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最小にする $x$ の値を求めます。

* $h(x)$ を最小にする $x$ の値を $t$ で表すとき、$p$ と $t$ の関係を求めます。

2. 解き方の手順

パートC：

* $f(x) = \ln x$ ($x > 1$) について：

* $f'(x) = \frac{1}{x}$ であるため、$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$。したがって、関数は増加関数です。

* $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$ であるため、$x > 1$ のとき $f''(x) < 0$。したがって、関数は上に凸（凹関数）です。

* よって、選択肢 2が該当します。

* $f(x) = \frac{1}{x-2}$ ($x > 2$) について：

* $f'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}$ であるため、$x > 2$ のとき $f'(x) < 0$。したがって、関数は減少関数です。

* $f''(x) = \frac{2}{(x-2)^3}$ であるため、$x > 2$ のとき $f''(x) > 0$。したがって、関数は下に凸（凸関数）です。

* よって、選択肢 3が該当します。

パートD：

* $h(x) = g(x) - f(x) = px - (x^2 + 8) = -x^2 + px - 8$

* $p = 10$ のとき、$h(x) = -x^2 + 10x - 8$ 。 $h(x)$ を平方完成すると、$h(x) = -(x - 5)^2 + 17$ 。したがって、$h(x)$ を最大にするのは $x = 5$ のときです。

* 一般に、$h(x) = -x^2 + px - 8$ を平方完成すると、$h(x) = -(x - \frac{p}{2})^2 + \frac{p^2}{4} - 8$ 。

したがって、$h(x)$ を最大にするのは $x = \frac{p}{2}$ のときです。 問題文の指示より、$x=t$であるので $t = \frac{p}{2}$、つまり、$p = 2t$。 $t = \frac{p}{2}$ を $p$ と $t$ の関係式で表すと、$t = \frac{p}{2}$ 、したがって、$t = \frac{p}{2}$より$p = 2t$が成り立ち、$p = at +b$の形にすると、$p=2t+0$ となる。したがって、16に入るのは1になる。

3. 最終的な答え

* 13: 2

* 14: 3

* 15: 5

* 16: 1