関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x-1}$ の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求める。分母が0にならないように、$x-1 \neq 0$ である必要がある。

よって、$x \neq 1$。したがって、定義域は $x=1$ 以外のすべての実数である。

次に、値域を求める。$y = \frac{1}{x-1}$ とおく。

これを $x$ について解くと、

$y(x-1) = 1$

$yx - y = 1$

$yx = 1 + y$

$x = \frac{1+y}{y}$

$x$ が存在する条件は、$y \neq 0$ である。

したがって、値域は $y=0$ 以外のすべての実数である。

3. 最終的な答え

定義域: $x \neq 1$ (1以外のすべての実数)

値域: $y \neq 0$ (0以外のすべての実数)