空欄に当てはまる最も適切な選択肢番号を選ぶ問題です。特に以下の3つの問題について解答します。 * $f(x) = 6\sqrt{x}$ の時、$f'(1) = $ * $g(x) = \frac{1+x}{1-x}$ の時、$g'(2) = $ * $h(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ の時、$h'(1) = $

1. 問題の内容

空欄に当てはまる最も適切な選択肢番号を選ぶ問題です。特に以下の3つの問題について解答します。

* $f(x) = 6\sqrt{x}$ の時、$f'(1) =$

* $g(x) = \frac{1+x}{1-x}$ の時、$g'(2) =$

* $h(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ の時、$h'(1) =$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 6\sqrt{x}$ について

まず、$f(x)$ を $x$ で微分します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$f(x) = 6x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = 3x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$

次に、$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

(2) $g(x) = \frac{1+x}{1-x}$ について

$g(x)$ を $x$ で微分します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。$u = 1+x$、$v=1-x$ とすると、$u'=1$、$v'=-1$ なので、

$g'(x) = \frac{1 \cdot (1-x) - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + 1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$

次に、$g'(2)$ を計算します。

$g'(2) = \frac{2}{(1-2)^2} = \frac{2}{(-1)^2} = 2$

(3) $h(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ について

$h(x)$ を $x$ で微分します。

$h'(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{2x}{2} = \frac{3x^2}{2} - x$

次に、$h'(1)$ を計算します。

$h'(1) = \frac{3(1)^2}{2} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

* $f(x) = 6\sqrt{x}$ の時、$f'(1) = 3$ なので、答えは③

* $g(x) = \frac{1+x}{1-x}$ の時、$g'(2) = 2$ なので、答えは②

* $h(x) = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}$ の時、$h'(1) = \frac{1}{2}$ なので、答えは④