関数 $f(x)$ が積分方程式 $f(x) = -6 - 6\int_{0}^{1} (6xt - 4) f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求める問題です。

解析学積分方程式関数積分一次関数
2025/7/7

1. 問題の内容

関数 f(x)f(x) が積分方程式 f(x)=6601(6xt4)f(t)dtf(x) = -6 - 6\int_{0}^{1} (6xt - 4) f(t) dt を満たすとき、f(x)f(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は
f(x)=6601(6xt4)f(t)dtf(x) = -6 - 6\int_{0}^{1} (6xt - 4) f(t) dt
これを変形します。
f(x)=636x01tf(t)dt+2401f(t)dtf(x) = -6 - 36x\int_{0}^{1} t f(t) dt + 24\int_{0}^{1} f(t) dt
ここで、01tf(t)dt=A\int_{0}^{1} t f(t) dt = A および 01f(t)dt=B\int_{0}^{1} f(t) dt = B とおくと、AABB は定数であるため、f(x)f(x)
f(x)=636Ax+24Bf(x) = -6 - 36Ax + 24B
という一次関数であることがわかります。
この結果を積分に代入します。まず、A=01tf(t)dtA = \int_{0}^{1} t f(t) dt に代入すると、
A=01t(636At+24B)dt=01(6t36At2+24Bt)dtA = \int_{0}^{1} t (-6 - 36At + 24B) dt = \int_{0}^{1} (-6t - 36At^2 + 24Bt) dt
A=[3t212At3+12Bt2]01=312A+12BA = [-3t^2 - 12At^3 + 12Bt^2]_{0}^{1} = -3 - 12A + 12B
よって、
13A12B=3(1)13A - 12B = -3 \qquad (1)
次に、B=01f(t)dtB = \int_{0}^{1} f(t) dt に代入すると、
B=01(636At+24B)dt=[6t18At2+24Bt]01=618A+24BB = \int_{0}^{1} (-6 - 36At + 24B) dt = [-6t - 18At^2 + 24Bt]_{0}^{1} = -6 - 18A + 24B
よって、
18A23B=6(2)18A - 23B = -6 \qquad (2)
(1)と(2)の連立方程式を解きます。
(1)を18倍、(2)を13倍すると、
234A216B=54234A - 216B = -54
234A299B=78234A - 299B = -78
辺々引くと、
83B=2483B = 24
B=2483B = \frac{24}{83}
これを(1)に代入すると、
13A122483=313A - 12\cdot \frac{24}{83} = -3
13A=288833=28824983=398313A = \frac{288}{83} - 3 = \frac{288 - 249}{83} = \frac{39}{83}
A=383A = \frac{3}{83}
したがって、f(x)=636Ax+24Bf(x) = -6 - 36Ax + 24B より
f(x)=636383x+242483=610883x+57683=4988310883x=683(83+18x)108x83=108x+49883f(x) = -6 - 36 \cdot \frac{3}{83} x + 24 \cdot \frac{24}{83} = -6 - \frac{108}{83}x + \frac{576}{83} = -\frac{498}{83} - \frac{108}{83}x = -\frac{6}{83}(83 + 18x) - \frac{108x}{83} = -\frac{108x+498}{83}

3. 最終的な答え

f(x)=108x+49883f(x) = -\frac{108x + 498}{83}
または
f(x)=6(18x+83)83f(x) = -\frac{6(18x+83)}{83}
または
f(x)=10883x49883f(x) = -\frac{108}{83}x - \frac{498}{83}

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