(1) 全ての $x$ に対して、等式 $x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ が成り立つような $a, b, c, d$ を求める。 (2) 等式 $\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 全ての $x$ に対して、等式 $x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$ が成り立つような $a, b, c, d$ を求める。

(2) 等式 $\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式を展開して、両辺の係数を比較する。

$x^3 - 3x^2 + 7 = a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d$

$= a(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x - 2) + d$

$= ax^3 + (-6a + b)x^2 + (12a - 4b + c)x + (-8a + 4b - 2c + d)$

両辺の係数を比較すると、

$x^3$の係数: $a = 1$

$x^2$の係数: $-3 = -6a + b$

$x$の係数: $0 = 12a - 4b + c$

定数項: $7 = -8a + 4b - 2c + d$

$a = 1$ より、

$-3 = -6(1) + b$ から $b = -3 + 6 = 3$

$0 = 12(1) - 4(3) + c$ から $0 = 12 - 12 + c$ より $c = 0$

$7 = -8(1) + 4(3) - 2(0) + d$ から $7 = -8 + 12 + d$ より $7 = 4 + d$ なので $d = 3$

(2) 与えられた等式の右辺を通分して、分子を比較する。

$\frac{4x+5}{2x^2+5x-3} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}$

$\frac{4x+5}{(2x-1)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(2x-1)}{(2x-1)(x+3)}$

したがって、

$4x + 5 = a(x+3) + b(2x-1)$

$4x + 5 = ax + 3a + 2bx - b$

$4x + 5 = (a+2b)x + (3a-b)$

両辺の係数を比較すると、

$x$の係数: $4 = a + 2b$

定数項: $5 = 3a - b$

連立方程式を解く。

$a + 2b = 4$

$3a - b = 5$

2番目の式を2倍して、$6a - 2b = 10$

1番目の式と足すと、$a + 2b + 6a - 2b = 4 + 10$

$7a = 14$ より $a = 2$

$2 + 2b = 4$ より $2b = 2$ なので $b = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = 3, c = 0, d = 3$

(2) $a = 2, b = 1$