$a + b + c = 0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明します。 $\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+c)(b+a)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} = 3$

1. 問題の内容

$a + b + c = 0$ のとき、次の等式が成り立つことを証明します。

$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+c)(b+a)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} = 3$

2. 解き方の手順

与えられた条件 $a+b+c=0$ より、

$a+b = -c$

$b+c = -a$

$c+a = -b$

が成り立ちます。

これらの関係式を等式の左辺に代入すると、

$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+c)(b+a)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} = \frac{a^2}{(-c)(-b)} + \frac{b^2}{(-a)(-c)} + \frac{c^2}{(-b)(-a)} = \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab}$

右辺を通分すると、

$\frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ac} + \frac{c^2}{ab} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc}$

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ が恒等式として知られています。

$a+b+c = 0$ のとき、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$ なので、$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ が成り立ちます。

したがって、

$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = \frac{3abc}{abc} = 3$

これで、

$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+c)(b+a)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} = 3$

が証明できました。

3. 最終的な答え

$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+c)(b+a)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} = 3$