$k$ は定数とする。曲線 $x^2 - y^2 = 2$ と直線 $y = kx + 2$ がただ1つの共有点をもつときの $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

$k$ は定数とする。曲線 $x^2 - y^2 = 2$ と直線 $y = kx + 2$ がただ1つの共有点をもつときの $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

曲線 $x^2 - y^2 = 2$ と直線 $y = kx + 2$ の共有点を求めるため、連立方程式を解く。

$y = kx + 2$ を $x^2 - y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 - (kx + 2)^2 = 2$

$x^2 - (k^2x^2 + 4kx + 4) = 2$

$x^2 - k^2x^2 - 4kx - 4 = 2$

$(1 - k^2)x^2 - 4kx - 6 = 0$

この2次方程式がただ1つの解をもつとき、判別式 $D = 0$ となる。

ただし、$1 - k^2 = 0$ の場合は一次方程式になり、解が一つになる場合がある。

(i) $1 - k^2 \neq 0$ のとき、

$D = (-4k)^2 - 4(1 - k^2)(-6) = 0$

$16k^2 + 24(1 - k^2) = 0$

$16k^2 + 24 - 24k^2 = 0$

$-8k^2 + 24 = 0$

$8k^2 = 24$

$k^2 = 3$

$k = \pm \sqrt{3}$

(ii) $1 - k^2 = 0$ のとき、$k = \pm 1$ である。

$k = 1$ のとき、$-4x - 6 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$。

$y = x + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

$x^2 - y^2 = (-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$ となり、条件を満たす。

$k = -1$ のとき、$4x - 6 = 0$ より $x = \frac{3}{2}$。

$y = -x + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$

$x^2 - y^2 = (\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$ となり、条件を満たす。

したがって、$k = \pm \sqrt{3}, \pm 1$

3. 最終的な答え

$k = \pm \sqrt{3}, \pm 1$