2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3$ が与えられています。ただし、$a$ は定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $1 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき, $M + m = -10$ となるような $a$ の値を求めます。 (3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3$ が与えられています。ただし、$a$ は定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $1 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき, $M + m = -10$ となるような $a$ の値を求めます。

(3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + a^2 + 6a - 3 = (x - 2)^2 - 4 + a^2 + 6a - 3 = (x - 2)^2 + a^2 + 6a - 7$

したがって、頂点の座標は $(2, a^2 + 6a - 7)$ です。

(2) 頂点の $x$ 座標は $x = 2$ であり、$1 \le x \le 4$ の範囲に含まれています。したがって、$x = 2$ で最小値をとります。最小値 $m$ は、$m = f(2) = a^2 + 6a - 7$ です。

次に最大値 $M$ を考えます。軸 $x = 2$ からより離れている $x = 1$ と $x = 4$ の値を比較します。

$f(1) = 1 - 4 + a^2 + 6a - 3 = a^2 + 6a - 6$

$f(4) = 16 - 16 + a^2 + 6a - 3 = a^2 + 6a - 3$

$f(4) > f(1)$ なので、$x = 4$ で最大値をとります。最大値 $M$ は、$M = f(4) = a^2 + 6a - 3$ です。

$M + m = (a^2 + 6a - 3) + (a^2 + 6a - 7) = 2a^2 + 12a - 10 = -10$

$2a^2 + 12a = 0$

$2a(a + 6) = 0$

$a = 0, -6$

(3) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の $1 \le x \le 4$ の部分と共有点を持つ条件は、$1 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最小値 $m$ が $m \le 0$ となることです。

$m = a^2 + 6a - 7 \le 0$

$(a + 7)(a - 1) \le 0$

$-7 \le a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 + 6a - 7)$

(2) $a$ の値: $a = 0, -6$

(3) $a$ の値の範囲: $-7 \le a \le 1$