点 $P(x, y)$ が楕円 $x^2 + 4y^2 = 4$ 上を動くとき、関数 $3x^2 - 4\sqrt{3}xy - 12y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

点 $P(x, y)$ が楕円 $x^2 + 4y^2 = 4$ 上を動くとき、関数 $3x^2 - 4\sqrt{3}xy - 12y^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、楕円の式 $x^2 + 4y^2 = 4$ を利用して、$x$ と $y$ をパラメータ表示します。

$x = 2\cos\theta$, $y = \sin\theta$ とおくと、これは与えられた楕円上の点を表します。

次に、$x$ と $y$ を与えられた関数に代入します。

\begin{align*}

3x^2 - 4\sqrt{3}xy - 12y^2 &= 3(2\cos\theta)^2 - 4\sqrt{3}(2\cos\theta)(\sin\theta) - 12(\sin\theta)^2 \\

&= 12\cos^2\theta - 8\sqrt{3}\cos\theta\sin\theta - 12\sin^2\theta \\

&= 12(\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 4\sqrt{3}(2\sin\theta\cos\theta) \\

&= 12\cos(2\theta) - 4\sqrt{3}\sin(2\theta)

\end{align*}

合成を行います。

$12\cos(2\theta) - 4\sqrt{3}\sin(2\theta) = A\cos(2\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$A = \sqrt{12^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.

したがって、$12\cos(2\theta) - 4\sqrt{3}\sin(2\theta) = 8\sqrt{3} \left(\frac{12}{8\sqrt{3}}\cos(2\theta) - \frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}\sin(2\theta)\right) = 8\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2\theta) - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)$.

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ となる $\alpha$ は $\alpha = \frac{\pi}{6}$ です。

よって、$12\cos(2\theta) - 4\sqrt{3}\sin(2\theta) = 8\sqrt{3}\cos(2\theta + \frac{\pi}{6})$

$-1 \leq \cos(2\theta + \frac{\pi}{6}) \leq 1$ なので、

$-8\sqrt{3} \leq 8\sqrt{3}\cos(2\theta + \frac{\pi}{6}) \leq 8\sqrt{3}$.

したがって、最大値は $8\sqrt{3}$、最小値は $-8\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $8\sqrt{3}$

最小値: $-8\sqrt{3}$