$\alpha$と$\beta$は複素数であり、$|\alpha| = \sqrt{3}$, $|\beta| = \sqrt{2}$, $|\alpha + \beta| = 1$である。 このとき、以下の値を求める。 (1) $|\alpha^5|$ (2) $|\frac{\alpha}{\beta}|$ (3) $\overline{\alpha}\beta + \alpha\overline{\beta}$ (4) $|\alpha - \beta|$

## 解答

1. 問題の内容

$\alpha$と$\beta$は複素数であり、$|\alpha| = \sqrt{3}$, $|\beta| = \sqrt{2}$, $|\alpha + \beta| = 1$である。

このとき、以下の値を求める。

(1) $|\alpha^5|$

(2) $|\frac{\alpha}{\beta}|$

(3) $\overline{\alpha}\beta + \alpha\overline{\beta}$

(4) $|\alpha - \beta|$

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha^5|$

複素数の絶対値の性質 $|z^n| = |z|^n$を用いる。

$|\alpha^5| = |\alpha|^5 = (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

(2) $|\frac{\alpha}{\beta}|$

複素数の絶対値の性質 $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$を用いる。

$|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) $\overline{\alpha}\beta + \alpha\overline{\beta}$

$|\alpha + \beta|^2 = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha + \beta}) = (\alpha + \beta)(\overline{\alpha} + \overline{\beta}) = \alpha\overline{\alpha} + \alpha\overline{\beta} + \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\beta} = |\alpha|^2 + |\beta|^2 + \alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta$

より

$\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta = |\alpha + \beta|^2 - |\alpha|^2 - |\beta|^2 = 1^2 - (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 3 - 2 = -4$

(4) $|\alpha - \beta|$

$|\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)(\overline{\alpha - \beta}) = (\alpha - \beta)(\overline{\alpha} - \overline{\beta}) = \alpha\overline{\alpha} - \alpha\overline{\beta} - \beta\overline{\alpha} + \beta\overline{\beta} = |\alpha|^2 + |\beta|^2 - (\alpha\overline{\beta} + \overline{\alpha}\beta)$

$|\alpha - \beta|^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - (-4) = 3 + 2 + 4 = 9$

$|\alpha - \beta| = \sqrt{9} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $9\sqrt{3}$

(2) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(3) $-4$

(4) $3$