関数 $y = xe^{-2x}$ を微分する。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則を用いる。

積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が以下のようになるというもの。

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

この問題では、$u(x) = x$、$v(x) = e^{-2x}$ と考える。

まず、$u(x)$ の微分を計算する。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算する。合成関数の微分法則を用いる。$w(x) = -2x$ と置くと、$v(x) = e^{w(x)}$。

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{dv}{dw} = e^{w} = e^{-2x}$

$\frac{dw}{dx} = -2$

したがって、

$\frac{dv}{dx} = -2e^{-2x}$

積の微分法則を適用する。

$\frac{dy}{dx} = (1)e^{-2x} + x(-2e^{-2x})$

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x} - 2xe^{-2x}$

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1-2x)$