問題3.1の(1)から(4)の置換の積を計算せよ。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) (1 3)(2 3)(2 4) (4) (1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)

1. 問題の内容

問題3.1の(1)から(4)の置換の積を計算せよ。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) (1 3)(2 3)(2 4)

(4) (1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を計算する。

右側の置換で、1は3に、2は1に、3は2に移る。次に左側の置換で、3は2に、1は3に、2は1に移る。

従って、1は2に、2は3に、3は1に移る。

よって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ となる。

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を計算する。

右側の置換で、1は4に、2は3に、3は2に、4は1に移る。次に左側の置換で、4は1に、3は2に、2は4に、1は3に移る。

従って、1は1に、2は2に、3は4に、4は3に移る。

よって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ となる。

(3)

(1 3)(2 3)(2 4)

まず、(2 4) で、2は4に、4は2に移る。

次に、(2 3) で、2は3に、3は2に移る。

最後に、(1 3) で、1は3に、3は1に移る。

1 -> 1 -> 1 -> 3

2 -> 4 -> 4 -> 4

3 -> 3 -> 2 -> 1

4 -> 2 -> 3 -> 2

よって、(1 3)(2 3)(2 4) = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4)

(1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3)

まず、(2 3) で、2は3に、3は2に移る。

次に、(1 2 4 3) で、1は2に、2は4に、4は3に、3は1に移る。

次に、(2 3) で、2は3に、3は2に移る。

最後に、(1 4) で、1は4に、4は1に移る。

1 -> 1 -> 2 -> 2 -> 4

2 -> 3 -> 3 -> 2 -> 2

3 -> 2 -> 1 -> 1 -> 1

4 -> 4 -> 4 -> 3 -> 3

よって、(1 4)(2 3)(1 2 4 3)(2 3) = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$