与えられた置換の積を計算します。具体的には、以下の2つの問題に答えます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算します。具体的には、以下の2つの問題に答えます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換を先に行い、その結果に対して左側の置換を行うことで計算します。

(1)

まず、右側の置換$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$を考えます。

次に、左側の置換$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$を考えます。

1は右の置換で3に写り、その3は左の置換で2に写ります。したがって、1は2に写ります。

2は右の置換で1に写り、その1は左の置換で3に写ります。したがって、2は3に写ります。

3は右の置換で2に写り、その2は左の置換で1に写ります。したがって、3は1に写ります。

よって、積は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$となります。

(2)

まず、右側の置換$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を考えます。

次に、左側の置換$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を考えます。

1は右の置換で4に写り、その4は左の置換で1に写ります。したがって、1は1に写ります。

2は右の置換で3に写り、その3は左の置換で2に写ります。したがって、2は2に写ります。

3は右の置換で2に写り、その2は左の置換で4に写ります。したがって、3は4に写ります。

4は右の置換で1に写り、その1は左の置換で3に写ります。したがって、4は3に写ります。

よって、積は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$