数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = n^2 - 2n$（$n \geq 1$）で表されるとき、数列$\{a_n\}$はどのような数列か。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = n^2 - 2n$（$n \geq 1$）で表されるとき、数列$\{a_n\}$はどのような数列か。

2. 解き方の手順

$a_n$は$S_n$を用いて以下のように表すことができる。

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n=1$ のとき、

$a_1 = S_1$

まず、$n \geq 2$ のとき、$a_n$を計算する。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 2n) - ((n-1)^2 - 2(n-1))$

$a_n = n^2 - 2n - (n^2 - 2n + 1 - 2n + 2)$

$a_n = n^2 - 2n - (n^2 - 4n + 3)$

$a_n = n^2 - 2n - n^2 + 4n - 3$

$a_n = 2n - 3$

次に、$a_1$を計算する。

$a_1 = S_1 = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

ここで、$a_n = 2n - 3$ に $n = 1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) - 3 = -1$ となり、$n \geq 2$ のときの式で、$a_1$も表すことができる。

したがって、$a_n = 2n - 3$

これは、初項が$-1$、公差が$2$の等差数列である。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$は、初項$-1$、公差$2$の等差数列である。

または、$a_n = 2n - 3$