自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が以下のように与えられています。 * $p: m > 4$ または $n > 4$ * $q: mn > 4$ * $r: mn > 4^2$ (1) $p$ の否定 $\overline{p}$ を選択肢から選びます。 (2) $p$ は $q$ であるための何条件か、また $p$ は $r$ であるための何条件かを、選択肢から選びます。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が以下のように与えられています。

* $p: m > 4$ または $n > 4$

* $q: mn > 4$

* $r: mn > 4^2$

(1) $p$ の否定 $\overline{p}$ を選択肢から選びます。

(2) $p$ は $q$ であるための何条件か、また $p$ は $r$ であるための何条件かを、選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

(1) $p: m > 4$ または $n > 4$ の否定 $\overline{p}$ は、「$m > 4$」の否定「$m \leq 4$」と、「$n > 4$」の否定「$n \leq 4$」を「または」の否定である「かつ」で結んだものです。

したがって、$\overline{p}$ は $m \leq 4$ かつ $n \leq 4$ となります。

(2) $p$ は $q$ であるための条件を考えます。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$q: mn > 4$

$p \Rightarrow q$ が成り立つかどうかを考えます。

例えば、$m = 1, n = 5$ のとき、$m > 4$ は成り立ちませんが、$n > 4$ は成り立つので、$p$ は成り立ちます。このとき、$mn = 1 \cdot 5 = 5 > 4$ なので、$q$ も成り立ちます。

一方、$q \Rightarrow p$ が成り立つかどうかを考えます。

例えば、$m = 1, n = 6$ のとき、$mn = 6 > 4$ なので、$q$ は成り立ちます。しかし、$m > 4$ は成り立たず、$n > 4$ も成り立ちます。

$m = 2, n = 3$のとき、$mn = 6 > 4$ なので、$q$は成り立ちますが、$m>4$も$n>4$も成り立ちません。

したがって、$p \Rightarrow q$ は成り立ちません。

よって、$p$ は $q$ であるための十分条件ではありませんが、必要条件でもありません。

$p$ は $r$ であるための条件を考えます。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$r: mn > 4^2 = 16$

$p \Rightarrow r$ が成り立つかどうかを考えます。

例えば、$m = 5, n = 1$ のとき、$m > 4$ は成り立つので、$p$ は成り立ちます。このとき、$mn = 5 \cdot 1 = 5 > 16$ ではないので、$r$ は成り立ちません。したがって、$p \Rightarrow r$ は成り立ちません。

$r \Rightarrow p$ が成り立つかどうかを考えます。

$r: mn > 16$ ならば、$m > 4$ または $n > 4$ が成り立つかどうかを考えます。

$mn > 16$ のとき、もし $m \leq 4$ かつ $n \leq 4$ ならば、$mn \leq 4 \cdot 4 = 16$ となり、$mn > 16$ に矛盾します。したがって、$m > 4$ または $n > 4$ が成り立ちます。つまり、$r \Rightarrow p$ は成り立ちます。

したがって、$p$ は $r$ であるための必要条件であるが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 1: 3

(2) 2: 4

(3) 3: 2