与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(k+3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(2k-1)(k+3)$ を展開します。

$(2k-1)(k+3) = 2k^2 + 6k - k - 3 = 2k^2 + 5k - 3$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 5k - 3)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 5k - 3) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$2\sum_{k=1}^{n} k^2 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

$5\sum_{k=1}^{n} k = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{5n(n+1)}{2}$

$3\sum_{k=1}^{n} 1 = 3n$

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 5k - 3) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{5n(n+1)}{2} - 3n$

共通分母を6にして整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{5n(n+1)}{2} - 3n = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 18n}{6}$

$= \frac{n(2(n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 18)}{6}$

$= \frac{n(2(2n^2+3n+1) + 15n + 15 - 18)}{6}$

$= \frac{n(4n^2 + 6n + 2 + 15n - 3)}{6}$

$= \frac{n(4n^2 + 21n - 1)}{6}$

$= \frac{4n^3 + 21n^2 - n}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 + 21n^2 - n}{6}$