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## 問題の解答

代数学二次方程式因数分解自然数方程式
2025/7/8
## 問題の解答
### (1) 問題の内容
ある数の2倍に3を足して2乗した数と、もとの数の2乗を2倍して9を足した数が等しくなる。もとの数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. もとの数を $x$ とおく。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

(2x+3)2=2x2+9(2x + 3)^2 = 2x^2 + 9

3. 左辺を展開する。

4x2+12x+9=2x2+94x^2 + 12x + 9 = 2x^2 + 9

4. 両辺を整理する。

2x2+12x=02x^2 + 12x = 0

5. $2x$ で括る。

2x(x+6)=02x(x + 6) = 0

6. $x$ について解く。

x=0,−6x = 0, -6
### (3) 最終的な答え
もとの数は 00 または −6-6。
---
### (1) 問題の内容
ある数に4を加えて2乗すると、もとの数より60大きくなった。もとの数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. もとの数を $x$ とおく。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

(x+4)2=x+60(x + 4)^2 = x + 60

3. 左辺を展開する。

x2+8x+16=x+60x^2 + 8x + 16 = x + 60

4. 両辺を整理する。

x2+7x−44=0x^2 + 7x - 44 = 0

5. 因数分解する。

(x+11)(x−4)=0(x + 11)(x - 4) = 0

6. $x$ について解く。

x=−11,4x = -11, 4
### (3) 最終的な答え
もとの数は −11-11 または 44。
---
### (1) 問題の内容
大小2つの自然数がある。その差は6で、小さいほうの数の2乗は、大きいほうの数の2倍に3を加えた数に等しい。この2つの数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. 小さいほうの数を $x$ とおく。大きいほうの数は $x + 6$。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

x2=2(x+6)+3x^2 = 2(x + 6) + 3

3. 右辺を展開する。

x2=2x+12+3x^2 = 2x + 12 + 3

4. 両辺を整理する。

x2−2x−15=0x^2 - 2x - 15 = 0

5. 因数分解する。

(x−5)(x+3)=0(x - 5)(x + 3) = 0

6. $x$ について解く。

x=5,−3x = 5, -3

7. $x$ は自然数なので、$x = 5$。したがって、大きいほうの数は $5 + 6 = 11$。

### (3) 最終的な答え
2つの数は 55 と 1111。
---
### (1) 問題の内容
連続した2つの自然数がある。それぞれを2乗した数の和が2つの数の積より13大きくなるとき、これら2つの自然数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. 小さいほうの自然数を $x$ とおく。大きいほうの自然数は $x + 1$。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

x2+(x+1)2=x(x+1)+13x^2 + (x + 1)^2 = x(x + 1) + 13

3. 左辺を展開する。

x2+x2+2x+1=x2+x+13x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + x + 13

4. 両辺を整理する。

x2+x−12=0x^2 + x - 12 = 0

5. 因数分解する。

(x+4)(x−3)=0(x + 4)(x - 3) = 0

6. $x$ について解く。

x=−4,3x = -4, 3

7. $x$ は自然数なので、$x = 3$。したがって、大きいほうの自然数は $3 + 1 = 4$。

### (3) 最終的な答え
2つの自然数は 33 と 44。
---
### (1) 問題の内容
連続した3つの自然数がある。もっとも小さい数ともっとも大きい数の積は、真ん中の数の4倍より44大きい。この3つの自然数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. 真ん中の自然数を $x$ とおく。もっとも小さい数は $x - 1$、もっとも大きい数は $x + 1$。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

(x−1)(x+1)=4x+44(x - 1)(x + 1) = 4x + 44

3. 左辺を展開する。

x2−1=4x+44x^2 - 1 = 4x + 44

4. 両辺を整理する。

x2−4x−45=0x^2 - 4x - 45 = 0

5. 因数分解する。

(x−9)(x+5)=0(x - 9)(x + 5) = 0

6. $x$ について解く。

x=9,−5x = 9, -5

7. $x$ は自然数なので、$x = 9$。したがって、もっとも小さい数は $9 - 1 = 8$、もっとも大きい数は $9 + 1 = 10$。

### (3) 最終的な答え
3つの自然数は 88, 99, 1010。
---
### (1) 問題の内容
連続した3つの自然数がある。それぞれの自然数を2乗して、それらの和を計算すると77になった。この3つの自然数を求める。
### (2) 解き方の手順

1. 真ん中の自然数を $x$ とおく。もっとも小さい数は $x - 1$、もっとも大きい数は $x + 1$。

2. 問題文から、以下の式が成り立つ。

(x−1)2+x2+(x+1)2=77(x - 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 77

3. 左辺を展開する。

x2−2x+1+x2+x2+2x+1=77x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 77

4. 両辺を整理する。

3x2+2=773x^2 + 2 = 77

5. $3x^2 = 75$

6. $x^2 = 25$

7. $x$ について解く。

x=5,−5x = 5, -5

8. $x$ は自然数なので、$x = 5$。したがって、もっとも小さい数は $5 - 1 = 4$、もっとも大きい数は $5 + 1 = 6$。

### (3) 最終的な答え
3つの自然数は 44, 55, 66。

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