$\log_{11}7 \cdot \log_7 121$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{11}7 \cdot \log_7 121$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を利用します。底の変換公式とは、

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

のことです。

この問題では、$\log_{11} 7$ と $\log_7 121$ の積を計算することになります。どちらかの対数の底を変換して、うまく計算できるようにします。

$\log_{11} 7$ の底を7に変換すると、

$$\log_{11} 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 11} = \frac{1}{\log_7 11}$$

となります。したがって、

$$\log_{11} 7 \cdot \log_7 121 = \frac{1}{\log_7 11} \cdot \log_7 121 = \frac{\log_7 121}{\log_7 11}$$

ここで再び底の変換公式を適用すると、

$$\frac{\log_7 121}{\log_7 11} = \log_{11} 121$$

$121 = 11^2$ であるから、

$$\log_{11} 121 = \log_{11} 11^2 = 2 \log_{11} 11 = 2 \cdot 1 = 2$$

よって、$\log_{11}7 \cdot \log_7 121 = 2$ となります。

3. 最終的な答え

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