問題10.1は、加法定理を用いて $\sin(\frac{7}{12}\pi)$, $\cos(\frac{7}{12}\pi)$, $\tan(\frac{7}{12}\pi)$ の値を求める問題です。 問題10.2は、三角関数の合成により $-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を変形する問題です。

1. 問題の内容

問題10.1は、加法定理を用いて $\sin(\frac{7}{12}\pi)$, $\cos(\frac{7}{12}\pi)$, $\tan(\frac{7}{12}\pi)$ の値を求める問題です。

問題10.2は、三角関数の合成により $-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を変形する問題です。

2. 解き方の手順

問題10.1

$\frac{7}{12}\pi = \frac{3}{12}\pi + \frac{4}{12}\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$ と分解できます。

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})$

加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用います。

$\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(\frac{7}{12}\pi) = \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})$

加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用います。

$\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sin(\frac{7}{12}\pi)}{\cos(\frac{7}{12}\pi)}$

$\tan(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{6})(\sqrt{2} + \sqrt{6})} = \frac{2 + 2\sqrt{12} + 6}{2 - 6} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{-4} = -2 - \sqrt{3}$

問題10.2

$-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta)$

ここで、$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を探すと、$\alpha = \frac{7}{6}\pi$

したがって、$-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{7}{6}\pi)$

3. 最終的な答え

問題10.1

(1) $\sin(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos(\frac{7}{12}\pi) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan(\frac{7}{12}\pi) = -2 - \sqrt{3}$

問題10.2

$-\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{7}{6}\pi)$