行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

## 演習12.1 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

まず、1行目を $\frac{1}{3}$ 倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

## 演習12.1 (2) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & | & 1 & 0 \\ 1 & 0 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 0 & 1 \\ 0 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

## 演習12.1 (3) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 & 0 \\ -3 & 1 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

2行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & 3 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

## 演習12.2 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & | & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & | & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & | & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

1行目に3行目の4倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -4 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

## 演習12.2 (2) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

2行目を$\frac{1}{4}$倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & | & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 5 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を$\frac{1}{5}$倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & | & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

2行目から3行目の$\frac{1}{4}$倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{20} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{20} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}$

## 演習12.3 (1) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 21 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 4 & 21 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

2行目から1行目の4倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 5 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & -4 & 1 \end{pmatrix}$

1行目から2行目の5倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 21 & -5 \\ 0 & 1 & | & -4 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 21 & -5 \\ -4 & 1 \end{pmatrix}$

## 演習12.3 (2) の解答

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ -6 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を行基本変形を用いて求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるために、与えられた行列 $A$ に単位行列を並べた拡大行列を作成します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ -6 & 3 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行基本変形を用いて、左側の行列を単位行列に変形します。

2行目に1行目の3倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & 3 & 1 & 0 \\ -6 & 3 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の6倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -5 & | & 6 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & | & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

1行目に3行目を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & | & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2行目に3行目の2倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -2 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

左側が単位行列になったので、右側の行列が $A$ の逆行列となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 1 \\ -3 & -5 & 2 \\ -3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$