与えられた行列 A の行列式を計算し、できるだけ簡潔な式で表す問題です。 (1) は 3x3 行列の行列式を計算する問題です。 (2) は 6x6 行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 A の行列式を計算し、できるだけ簡潔な式で表す問題です。

(1) は 3x3 行列の行列式を計算する問題です。

(2) は 6x6 行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3x3 行列の行列式を計算します。

$\begin{aligned}

det(A) &= (x-3)((x-3)x - 4) - 2(-2x + 2) + 1(-8 - (-2)(x-3)) \\

&= (x-3)(x^2 - 3x - 4) - 2(-2x + 2) + 1(-8 + 2x - 6) \\

&= x^3 - 3x^2 - 4x - 3x^2 + 9x + 12 + 4x - 4 - 8 + 2x - 6 \\

&= x^3 - 6x^2 + 11x - 6

\end{aligned}$

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を因数分解すると $(x-1)(x-2)(x-3)$ となります。

(2) 6x6 行列の行列式を計算します。

まず、3行目と4行目をそれぞれ2列目と3列目に足し込むと

$\begin{pmatrix}

x-3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

-2 & x-3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 4 & 5 & 5 \\

-2 & 4 & x & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

次に、4行目から3行目の2倍を引くと

$\begin{pmatrix}

x-3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

-2 & x-3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\

-2 & 4 & x & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 4

\end{pmatrix}$

6行目から4行目の1/3倍を引くと

$\begin{pmatrix}

x-3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

-2 & x-3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 3 & 3 \\

-2 & 4 & x & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3

\end{pmatrix}$

最後の行に0が並んでいるため、行列式は0となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)$

(2) 0