次の2つの2次関数の最大値と最小値を指定された範囲で求めます。 (1) $y = -x^2 + 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$) (2) $y = x^2 - 2x - 1$ ($-1 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

次の2つの2次関数の最大値と最小値を指定された範囲で求めます。

(1) $y = -x^2 + 2x + 2$ ($-1 \le x \le 2$)

(2) $y = x^2 - 2x - 1$ ($-1 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 2x + 2$ の場合：

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 2x) + 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 2$

$y = -(x - 1)^2 + 3$

この関数は上に凸の放物線で、頂点は $(1, 3)$ です。定義域 $-1 \le x \le 2$ 内に頂点があるので、最大値は頂点の $y$ 座標である $3$ です。

次に、定義域の端点での値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 2(-1) + 2 = -1 - 2 + 2 = -1$

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 2(2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2$

したがって、最小値は $-1$ です。

(2) $y = x^2 - 2x - 1$ の場合：

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x - 1$

$y = (x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = (x - 1)^2 - 1 - 1$

$y = (x - 1)^2 - 2$

この関数は下に凸の放物線で、頂点は $(1, -2)$ です。定義域 $-1 \le x \le 1$ 内に頂点があるので、頂点の $y$ 座標は最小値の候補となります。

$x = 1$ のとき、$y = (1 - 1)^2 - 2 = -2$

次に、定義域の端点での値を調べます。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

したがって、最大値は $2$ で、最小値は $-2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：3、最小値：-1

(2) 最大値：2、最小値：-2