与えられた置換を互換の積に分解し、各置換の符号を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた置換を互換の積に分解し、各置換の符号を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) (1 3 6 4)

この置換は、1が3に、3が6に、6が4に、4が1に写る巡回置換です。これを互換の積に分解すると、

(1 3 6 4) = (1 4)(1 6)(1 3) となります。

互換の数は3つなので、符号は $(-1)^3 = -1$です。

(2) (1 2 5 3 4)

この置換は、1が2に、2が5に、5が3に、3が4に、4が1に写る巡回置換です。これを互換の積に分解すると、

(1 2 5 3 4) = (1 4)(1 3)(1 5)(1 2) となります。

互換の数は4つなので、符号は $(-1)^4 = 1$です。

(3) (2 4 6)

この置換は、2が4に、4が6に、6が2に写る巡回置換です。これを互換の積に分解すると、

(2 4 6) = (2 6)(2 4) となります。

互換の数は2つなので、符号は $(-1)^2 = 1$です。

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

この置換は、1が3に、2が7に、3が4に、4が1に、5が2に、6が5に、7が6に写ります。

つまり、 (1 3 4), (2 7 6 5) という巡回置換になります。

(1 3 4) = (1 4)(1 3) なので、符号は $(-1)^2 = 1$。

(2 7 6 5) = (2 5)(2 6)(2 7) なので、符号は $(-1)^3 = -1$。

全体の符号は $1 \times (-1) = -1$。

互換の積は(1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7)です。

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

この置換は、1が3に、2が4に、3が1に、4が9に、5が8に、6が6に、7が5に、8が7に、9が2に写ります。

つまり、(1 3), (2 4 9), (5 8 7) という巡回置換になります。

(1 3) の符号は -1

(2 4 9) = (2 9)(2 4) なので、符号は $(-1)^2 = 1$。

(5 8 7) = (5 7)(5 8) なので、符号は $(-1)^2 = 1$。

全体の符号は $(-1) \times 1 \times 1 = -1$。

互換の積は (1 3)(2 9)(2 4)(5 7)(5 8) です。

3. 最終的な答え

(1) (1 3 6 4) = (1 4)(1 6)(1 3), 符号: -1

(2) (1 2 5 3 4) = (1 4)(1 3)(1 5)(1 2), 符号: 1

(3) (2 4 6) = (2 6)(2 4), 符号: 1

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 7 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ = (1 4)(1 3)(2 5)(2 6)(2 7), 符号: -1

(5) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 4 & 1 & 9 & 8 & 6 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$ = (1 3)(2 9)(2 4)(5 7)(5 8), 符号: -1