6次対称群$S_6$の元$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$、$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$に対して、以下の問題を解く。 (1) $\tau \sigma$を求める。 (2) $\sigma^{-1}$を求める。 (3) $\sigma$を互換の積で表す。 (4) $sgn(\sigma)$を求める。

1. 問題の内容

6次対称群$S_6$の元$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$、$\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$に対して、以下の問題を解く。

(1) $\tau \sigma$を求める。

(2) $\sigma^{-1}$を求める。

(3) $\sigma$を互換の積で表す。

(4) $sgn(\sigma)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$を求める。

$\tau \sigma = \tau (\sigma(1) \sigma(2) \sigma(3) \sigma(4) \sigma(5) \sigma(6)) = \tau(2 \ 4 \ 5 \ 6 \ 1 \ 3)$.

$\tau(2) = 1$, $\tau(4) = 3$, $\tau(5) = 4$, $\tau(6) = 2$, $\tau(1) = 6$, $\tau(3) = 5$.

よって、

$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$.

(2) $\sigma^{-1}$を求める。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$なので、$\sigma^{-1}$は、$\sigma$の上と下の行を入れ替え、列をソートして得られる。

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$.

(3) $\sigma$を互換の積で表す。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$の巡回置換表現を求める。

$1 \to 2 \to 4 \to 6 \to 3 \to 5 \to 1$なので、$\sigma = (1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$.

これは長さ6の巡回置換であり、長さ$k$の巡回置換は$k-1$個の互換の積で表せる。

よって、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$.

(4) $sgn(\sigma)$を求める。

$\sigma$を互換の積で表したときの互換の個数の偶奇で符号が決まる。

$\sigma$は5個の互換の積で表せるので、符号は-1である。

$sgn(\sigma) = (-1)^5 = -1$.

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $sgn(\sigma) = -1$