以下の連立方程式をクラメルの公式を用いて解きます。 $ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 5x + 6y + 7z = 8 \\ 10x + 15y + 21z = 28 \end{cases} $

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題のうち、4番の連立方程式をクラメルの公式で解く問題について回答します。

1. 問題の内容

以下の連立方程式をクラメルの公式を用いて解きます。

$$

\begin{cases}

x + y + z = 1 \\

5x + 6y + 7z = 8 \\

10x + 15y + 21z = 28

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列の行列式とその変数を置き換えた行列の行列式を用いて表す公式です。

まず、係数行列 $A$ とその行列式 $|A|$ を求めます。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 7 \\ 10 & 15 & 21 \end{pmatrix}

$$

$$

|A| = 1(6 \cdot 21 - 7 \cdot 15) - 1(5 \cdot 21 - 7 \cdot 10) + 1(5 \cdot 15 - 6 \cdot 10) = 1(126 - 105) - 1(105 - 70) + 1(75 - 60) = 21 - 35 + 15 = 1

$$

次に、$x, y, z$ それぞれについて、係数行列 $A$ の対応する列を右辺の定数ベクトルで置き換えた行列とその行列式を求めます。

$A_x = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 8 & 6 & 7 \\ 28 & 15 & 21 \end{pmatrix}$

$$

|A_x| = 1(6 \cdot 21 - 7 \cdot 15) - 1(8 \cdot 21 - 7 \cdot 28) + 1(8 \cdot 15 - 6 \cdot 28) = 1(126 - 105) - 1(168 - 196) + 1(120 - 168) = 21 + 28 - 48 = 1

$$

$A_y = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 8 & 7 \\ 10 & 28 & 21 \end{pmatrix}$

$$

|A_y| = 1(8 \cdot 21 - 7 \cdot 28) - 1(5 \cdot 21 - 7 \cdot 10) + 1(5 \cdot 28 - 8 \cdot 10) = 1(168 - 196) - 1(105 - 70) + 1(140 - 80) = -28 - 35 + 60 = -3

$$

$A_z = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 8 \\ 10 & 15 & 28 \end{pmatrix}$

$$

|A_z| = 1(6 \cdot 28 - 8 \cdot 15) - 1(5 \cdot 28 - 8 \cdot 10) + 1(5 \cdot 15 - 6 \cdot 10) = 1(168 - 120) - 1(140 - 80) + 1(75 - 60) = 48 - 60 + 15 = 3

$$

クラメルの公式より、解は以下のようになります。

$$

x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{1}{1} = 1

$$

$$

y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-3}{1} = -3

$$

$$

z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{3}{1} = 3

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{cases}

x = 1 \\

y = -3 \\

z = 3

\end{cases}

$$